适用对象 理工类本科(学分：11 学时：198)

一、课程的性质和任务

高等数学是高等工科院校教学计划中一门重要的基础课，它是为培养四化建设人才服务的。

开设这门课，是要系统而全面地介绍数学(主要是微积分学)的基本原理、基本方法及其在几

何、物理中的基本应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础；通过课程的各个

数学环节的教学，培养学生的抽象概括问题的能力，逻辑推理能力、自学能力、想象能力，

使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工

具为学习后继课程，为科学技术工作，为改造自然服务。

二、课程的教学内容

(一) 函数与极限

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段

函数和隐函数，基本初等函数的性质，初等函数，数列极限与函数极限的定义以及它们的性

质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比

较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点

的类型，函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最

小值定理、介值定理、零点定理)。

(二) 导数与微分

导数与微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面

曲线的切线和法线及其方程，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算法则，复合函数

、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的求导法则，高阶导数的概念及其求法，可导

性与可微性的关系，一阶微分形式不变性，微分在近似计算中的应用。

(三) 微分中值定理与导数的应用

罗尔定理，拉格朗日中值定理柯西中值定理，泰勒定理，洛必达法则，函数单调性，函数图

形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及应用，函

数图形的描绘，弧微分，曲率的概念，方程的近似解。

(四) 不定积分

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的两类换元积分

法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数的有理式和简单无理函数等可以化为有理函数

的函数的积分，积分表的使用。

(五) 定积分

定积分的概念与性质，积分上限的函数及其导数，微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式

，定积分的换元法和分部积分法，无穷限的反常积分与无界函数的反常积分。

(六) 定积分的应用

定积分的元素法，定积分在几何上的应用(平面图形的面积，旋转体体积及平行截面面积为

已知的立体体积，平面曲线的弧长)，定积分在物理学上的应用(变力沿直线所作的功，水压

力，引力)。

(七) 空间解析几何与向量代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两

向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与

方向余弦，曲面方程(球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程

、常用的二次曲面方程)及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上

的投影曲线方程，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂

直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。

(八) 多元函数微分学

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元

连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多

元复合函数、隐函数求导法，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，方向导数和

梯度的概念及其计算，多元函数值和条件极值的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数

极值的充分条件，极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用

。

(九) 重积分

二重积分、三重积分的概念及其性质，二重积分(包括利用直角坐标和极坐标)和三重积分(

包括利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标)的计算方法，二重积分和三重积分的几何、物理

应用(体积、质量、曲面面积、质心、转动惯量、引力等)。

(十) 曲线积分与曲面积分

两类曲线积分的概念、性质及其计算，两类曲线积分的关系，格林公式，平面上曲线积分与

路径无关的条件，二元函数的全微分求积，两类曲面积分的概念、性质及其计算，两类曲面

积分的关系，高斯公式，斯托克斯公式，散度、旋度的概念及其计算，曲线积分和曲面积分

的几何、物理应用(弧长、曲面面积、质量、质心、转动惯量、引力和功等)。

(十一) 无穷级数

常数项级数收敛和发散的概念，收敛级数的和与余项的概念，级数的基本性质，几何级数和

P-级数的收敛性，正项级数审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛，条件收敛。

函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数在其收敛域内的

基本性质，简单幂级数的和函数的求法。

函数可展成泰勒级数的充要条件，一些基本初等函数的麦克劳林级数展开式，利用已知简单

幂级数展开式求其它函数的展开式，利用幂级数在近似计算中的应用。

函数的傅里叶系数和傅里叶级数，狄立克雷收敛定理，展成余弦级数和正弦级数，一般周期

［-l,l］的傅里叶级数。

(十二) 微分方程

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程

，一阶线性方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微

分方程解的结构，二阶及高于二阶的常系数齐次和非齐次线性微分方程，微分方程的幂级数

解法，用微分方程解简单的几何和物理问题。

三、课程的教学要求

(一) 函数与极限

1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2 理解反函数、复合函数的概念，熟悉基本初等函数性质及其图形。

3 理解数列极限与函数极限(包括左极限与右极限)的概念，熟悉数列极限与函数极限的性

质(如极限唯一性、收敛数列的有界性、函数极限的局部有界性等)。

4 理解无穷小、无穷大的概念，熟悉无穷小与无穷大之间的关系。

5 掌握极限运算法则，能熟练运用它们求极限。

6 熟悉极限存在的两个准则，掌握两个重要极限，能熟练运用两个重要极限求极限。

7 理解无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

8 理解函数连续性(含左连续与右连续)及间断点的概念，会判别函数的连续性与间断点的

类型。

9 熟悉连续函数的运算法则及初等函数的连续性，掌握运用函数的连续性求极限。

10 熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、零点定理、介值定理

)及其应用。

(二) 导数与微分

1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线

的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导

性与连续性之间的关系。

2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解

微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。

3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4 会求分段函数的一阶、二阶导数。

5 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反馈函数的导数。

6 了解微分在近似计算中的应用。

(三) 微分中值定理与导数的应用

1 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。

2 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

3 掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性和拐点。

4 理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简

单应用。

5 能熟练描绘函数的图形。

6 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

7 了解求方程近拟解的方法。

(四) 不定积分

1 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质。

2 掌握不定积分的基本公式，掌握两类换元积分法与分部积分法。

3 会求较简单的有理函数及可化为有理函数的函数的积分。

4 了解积分表的使用。

(五) 定积分

1 理解定积分的概念，了解按定义计算定积分，了解定积分存在定理的内容。

2 掌握定积分的性质。

3 掌握积分上限的函数及其导数，掌握微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式。

4 熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。

5 了解两类反常积分的定义及其计算。

(六) 定积分的应用

1 掌握定积分元素法。

2 掌握定积分在几何上的应用(计算平面图形的面积、旋转体体积、平行截面面积为已知

的立体体积及平面曲线的弧长)。

3 了解定积分在物理学上的应用(计算变力沿直线所作的功、水压力及引力)。

(七) 空间解析几何与向量代数

1 理解空间直角坐标系，熟悉两点间距离公式，理解向量的概念及其表示法。

2 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，熟悉两个向量垂直、平行的条件。

3 掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运

算的方法。

4 理解曲面方程的概念，熟悉常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋

转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

6 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

7 掌握平面方程和直线方程及其求法，熟悉平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互

关系(平行、垂直、相交、重合等)。

(八) 多元函数微分学

1 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分

条件，了解全微分形式不变性。

4 掌握多元复合函数偏导数的求法。

5 掌握隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。

6 熟悉曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

7 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

8 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函

数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单

多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

(九) 重积分

1 理解二重积分及三重积分的概念。

2 熟悉二重积分的几何意义及二、三重积分的性质。

3 掌握二重积分及三重积分计算方法，掌握交换积分次序，熟练利用直角坐标和极坐标计

算二重积分；并能熟练利用直角坐标、柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分。

4 熟悉重积分的几何、物理应用(体积、质量、曲面面积、质心、物体引力、转动惯量等)

。

(十) 曲线积分与曲面积分

1 理解对弧长的曲线积分的概念，对坐标的曲线积分的概念，对面积的曲面积分的概念，

对坐标的曲面积分的概念。

2 熟悉两类曲线积分的性质及两类曲面积分的性质。

3 掌握对弧长的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法，格林公式，对面积的曲面

积分的计算法，对坐标的曲面积分的计算法。

4 掌握平面上曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积，高斯公式及其应用。

5 熟悉曲线积分的几何、物理应用(弧长、质量、质心、变力作功等)，熟悉曲面积分的几

何、物理应用(曲面面积、质量、质心、流量等)，熟悉线面积分存在的叙述。

6 了解两类曲线积分的联系，两类曲面积分的联系，斯托克斯公式及其应用。

(十一) 无穷级数

1 理解常数项级数收敛与发散的概念，绝对收敛与收敛的关系；幂级数的概念，幂级数的

和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的概念；傅里叶级数的概念。

2 掌握级数的基本性质，几何级数和P-级数的敛散必，正项级数、交错级数的敛散性判别

法。

3 掌握幂级数收敛半径和收敛域、发散域的求法，幂级数的四则运算，幂级数的性质，利

用幂级数的性质求其和函数；掌握一些基本初等函数的幂级数展开式，会用这些展开式求比

较复杂幂级数的和函数。

4 掌握傅里叶级数系数公式，傅里叶级数展开式，傅里叶级数收敛判别定理(狄立克雷定

理)。

5 了解条件收敛概念，绝对收敛级数的性质；了解函数的幂级数展开式的唯一性，幂级数

在近似计算中的应用，欧拉公式，三角级数与三角函数系的正交性，通过奇延拓和偶延拓展

开成正弦和余弦级数。

(十二) 微分方程

1 理解微分方程的基本概念(方程的阶、解、通解、特解、初始条件等)，全微分方程概念

，线性微分方程的解的结构。

2 掌握可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程，伯努利微分方程，可降

阶的高阶微分方程，全微分方程，二阶及高于二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法

。

3 了解微分方程在几何、物理问题中的应用，了解积分因子概念，了解利用变量替换求解

微分方程的方法，了解微分方程的幂级数解法。

四、课程的重点和难点

(一)函数与极限

［重点］

函数概念，极限概念，连续性概念，极限的四则运算法则，两个极限存在准则，两个重要极

限，初等函数连续性的结论。

［难点］

反函数的概念，反三角函数的主值，复合函数的分解，极限的分析定义，分段函数连续性的

判定，极限四则运算法则的运用，函数关系式的建立。

(二) 导数与微分

［重点］

导数作为变化率的概念，微分作为函数增量的线性主部的概念，基本初等函数的求导公式，

函数和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数求导法则。

［难点］

导数作为变化率的理解，复合函数求导法则的运用，一阶微分形式不变性的理解及应用，求

隐函数和由参数方程所确定的函数的二阶导数。

(三) 中值定理与导数的应用

［重点］

拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数的单调性、极值，曲线的凹凸性与拐点，最大值最小

值问题，函数图形的描绘。

［难点］

拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入，微分中值定理的应用，泰勒公式的应用，正确熟

练地运用洛必达法则，最值的应用问题。

(四) 不定积分

［重点］

不定积分概念，两类换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。

［难点］

不定积分概念，第一类换元法，分部积分法。

(五) 定积分

［重点］

定积分定义，定积分换元法与分部积分法，牛顿—莱布尼兹公式。

［难点］

定积分概念的理解，积分上限函数的概念及其导数，定积分换元法的运用，反常积分的计算

。

(六) 定积分的应用

［重点］

定积分的几何应用——平面图形的面积，旋转体体积，平面曲线的弧长，定积分的物理应用

——变力作功，水压力等。

［难点］

定积分元素法。

(七) 空间解析几何与向量代数

［重点］

向量概念，向量坐标，向量的数量积与向量积，向量平行、垂直的条件，两向量的夹角，图

形的方程与方程的图形的概念，直线和平面方程的建立，球面、柱面、旋转曲面、抛物面、

双曲面及其方程。

［难点］

向量积的概念，空间曲线在坐标面上的投影。用截痕法研究二次曲面。

(八) 多元函数微分法及其作用

［重点］

偏导数概念，全微分概念，多元复合函数的求导法则。

［难点］

二元函数极限的计算，多元复合函数的求导法则，隐函数求导法则的运用，条件极值的要领

与拉格朗日乘数法的意义。

(九) 重积分

［重点］

二、三重积分的计算。

［难点］

二、三重积分计算中坐标系的选择，积分次序的选择与定限(特别是利用柱面坐标及球面坐

标计算三重积分)。

(十) 曲线积分与曲面积分

［重点］

曲线积分的概念与计算，曲面积的概念与计算。格林公式、高斯公式的应用，平面上曲线积

分与积分路径无关的条件。

［难点］

曲线积分、曲面积分的计算及应用。

(十一) 无穷级数

［重点］

级数收敛与发散的概念。正项级数的审敛法(尤其是比值判别法)，求幂级数的收敛半径与收

敛区间，利用幂级数性质和已知的基本初等函数展式将初等函数展成幂级数——间接展开法

，狄利克雷收敛定理。

［难点］

级数的敛散性的判定。函数展成幂级数。函数展成傅立叶级数。

(十二) 微分方程

［重点］

微分方程的解和初始条件，可分离变量的一阶微分方程的解法。一阶线性微分方程的解法，

二阶常系数线性微分方程的解法。

［难点］

常数变易法，自由项为ｆ(x)=eλx［Ｐn(x)cosωx + Ｐm(x)sinωx］型的常系

数线性方程特解的设立，微分方程的建立。可降阶微分方程的求解。

五、课程的学时分配

     略

六、教材和主要参考书

教材

《高等数学》上、下册 同济大学编 (第五版)

参考书

《高等数学》上、下册 同济大学编 (第四版)

《高等教学 (同济四版) 考点精析与习题全解》 黄光谷主编

《高等数学释疑解难》 高等学校工科数学课程指导委员会本科组编

《高等数学学习指导书》 华东六省工科数学系列教材编委会主编

《高等数学习题解集》 福州大学数学系编