适用对象 综合教学改革试点班(理工类)(学分：11 学时：198)
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一、课程的性质和任务
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高等数学是高等工科院校教学计划中一门重要的基础课，它是为培养四化建设人才服务的。

开设这门课，是要系统而全面地介绍数学(主要是微积分学)的基本原理、基本方法及其在几

何、物理中的基本应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础；通过课程的各个

教学环节的教学，培养学生的抽象概括问题的能力，逻辑推理能力、自学能力、想象能力，

使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工

具为学习后继课程、为科学技术工作、为改造自然服务。
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二、课程的教学内容、教学目的、要求
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(一) 一元函数的极限与连续性
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教学内容
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函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段

函数和隐函数。
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基本初等函数的性质及其图形，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立，数列极限与函

数极限的定义以及它们的性质。函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，

无穷小的性质及无穷小的比较。极限的四则运算、极限存在的两个准则；单调有界准则和夹

逼准则。两个重要极限【lim〖DD(X〗X→0〖DD)〗[SX(]sinx[]x[SX)]=1,lim〖DD(

X〗X→∞〖DD)〗(1+[SX(]1[]x[SX)])x=e】，函数连续的概念，函数间断点的类型，

初等

函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点

定理)。
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教学要求
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1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
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2 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
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3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
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4 掌握基本初等函数的性质及其图形。
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5 会建立简单应用问题中的函数关系式。
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6 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的

关系。
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7 掌握极限的性质及四则运算法则。
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8 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法

。
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9 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
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10 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
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11 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最

大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
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(二) 一元函数微分学
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教学内容
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导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义。函数的可导性与连续性之间的关系。平面

曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算法则。复合函数、反函数

、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数

，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagran

ge)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)定理。
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洛必达(L’Hospital)法则，函数的极值及其求法，函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点

及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的求法及简单应用。弧微分、曲率的概念

、曲率半径，方程近似角的二分法和切线法。
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教学要求
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1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线

的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导

性与连续性之间的关系。
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2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解

微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的

应用。
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3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
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4 会求分段函数的一阶、二阶导数。
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5 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
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6 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。
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7 了解并会用柯西中值定理。
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8 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最

大值和最小值的求法及其简单应用。
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9 会用导数判断函数图形的凹凸和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘

函数的图形。
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10 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
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11 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
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12 了解方程近似解的二分法和切线法。
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(三) 一元函数积分学
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教学内容
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原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和基本性质

。定积分中值定理。
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变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式，不定积分和

定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，

广义积分的概念和计算。定积分的近似计算法，定积分的应用。
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教学要求
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1 理解原函数概念，理解不定积分和积分的概念。
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2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元

积分法与分部积分法。
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3 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
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4 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
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5 了解广义积分的概念并会计算广义积分。
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6 了解定积分的近似计算法。
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7 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋

转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体的体积、变力作功、引力、压力及函数的

平均值等)。
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(四) 向量代数和空间解析几何
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教学内容
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向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向

量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方

向余弦。曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程、平面与平面、平面与直线

、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。球面，母线平行于

坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。常用的二次曲面方程及其图形，空间曲

线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
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教学要求
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1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
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2 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条

件。
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3 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运

算的方法。
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4 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交

等)解决有关问题。
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5 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋

转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
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6 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
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7 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
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(五) 多元函数微分学
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教学内容
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多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元

连续函数的性质。多元函数偏导数和全微分的概念，微分存在的必要条件和充分条件，全微

分在近似计算中的应用。多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的

概念及其计算，空间曲线的切线和法平面。曲面的切平面和法线，多元函数极值和条件极值

的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件，极值的求法，拉格朗日乘数

法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
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教学要求
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1 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
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2 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
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3 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分

条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。
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4 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
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5 掌握多元复合函数偏导数的求法。
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6 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。
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7 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
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8 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函

数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单

多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
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(六) 多元函数积分学
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教学内容
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二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用。两类曲线积分的概

念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条

件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系，高斯(G

au

ss)公式、斯托克斯(Stokes)公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用

。
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教学要求
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1 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分性质，了解二重积分的中值定理。
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2 掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标

、球面坐标)。
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3 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
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4 掌握计算两类曲线积分的方法。
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5 掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
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6 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法

，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
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7 了解散度与旋度的概念，并会计算。
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8 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲

面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。
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(七) 无穷级数
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教学内容
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常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件

，几何级数与P级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法

，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数收敛域与和函

数的概念，幂级数及收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在

其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条

件。ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式，幂级数

在近似计算中的应用。函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，狄利克雷(Dirichlet)定

理，函数在［-l,l］上的傅里叶级数，函数在［0,l］上的正弦级数和余弦级数。
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教学要求
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1 理解常数项级数、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条

件。
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2 掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
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3 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。
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4 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
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5 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
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6 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
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7 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
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8 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，

会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
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9 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
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10 掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将一

些简单函数间接展开成幂级数。
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11 了解幂级数在近似计算上的简单应用。
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12 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在［-l,

l］上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在［0,l］上的函数展开为正弦级数和余弦

级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
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(八) 常微分方程
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教学内容
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常微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解。变量可分离的方程，齐次

方程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程，可用简单的变量代换求解的

某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系

数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次

线性微分方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。
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教学要求
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1 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
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2 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
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3 会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
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4 会用降阶法解下列方程：y(n)＝f(x),y″＝f(x,y′)和y″＝f(y,y′)。
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5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
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6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分

方程。
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7 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系

数非齐次线性微分方程的特解和通解。
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8 了解微分方程的幂级数解法。
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9 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。
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三、课程的学时分配
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       略

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教材和主要参考书
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《高等数学》上、下册(第四版) 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社
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《高等数学》上、下册(第五版) 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社
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《数学分析》上、下册(第二版) 陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中 复旦大学数学系编

高等教育出版社
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《高等数学》下、下册 杨万禄主编 高等教育出版社
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《新编高等数学题解》上、下册(第二版) 王东生、周泰文等编 华中理工大学出版社
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《高等数学 (同济四版)考点精析与习题全解》上、下册 翁晓龙主编 光明日报出版社
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《高等数学复习指南 (同济四版)》 陈兰祥主编 学苑出版社
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《高等数学方法》 李安昌、张晓宁编 中国矿业大学出版社