一、教学目标

复变函数与积分变换是高等工科院校的一门数学基础理论课。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，因此它与微积分学的概念、方法有许多相似和联系，但又有许多的发展与区别。复变函数中的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具；积分变换的理论和方法不仅在数学的许多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术领域中有着广泛的应用，它已成为不可缺少的运算工具，本课程介绍的是最常用的两类积分变换：傅里叶变换和拉普拉斯变换。通过本课程的学习，使学生正确理解和掌握复变函数与积分变换中的数学概念和方法，逐步培养学生利用这些概念和方法解决实际问题的能力，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

二、教学基本内容

第一部分 复变函数

（一）复数与复变函数

复数的概念及其代数运算，复数的几何表示，复数的乘幂和方根，区域，复变函数的概念，映射的定义，复变函数的极限和连续性。

【重点】：复数各种表示法之间的转换、复数的运算、复平面上的区域、复变函数以及复变函数的极限与连续性概念。

【难点】：复球面概念，复变函数理解为复平面上两个集合间的映射。

要求学生：

熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解区域的概念；了解复球面与无穷远点；理解复变函数的概念；了解复变函数的极限与连续性概念。

（二）解析函数

复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数及其解析性。

【重点】：函数可导性与解析性的判定，求函数的解析区域以及初等函数的函数值。

【难点】：弄清可导与解析之间的关系，复变函数的解析性与实二元函数可微性之间的关系。

要求学生：

理解复变函数的导数以及复变函数解析的概念；熟悉复变函数解析的充要条件；了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中的解析性）。

（三）复变函数的积分

复变函数积分的概念与性质，复变函数的积分存在的条件及其计算法，柯西－古萨基本定理，复合闭路定理，原函数与不定积分，柯西积分公式，解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系。

【重点】：复变函数积分的计算（柯西－古萨基本定理、复合闭路定理、实二元函数线积分、柯西积分公式、高阶导数公式、牛顿－莱布尼兹公式等方法），解析函数与调和函数的关系。

【难点】：从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部（或这解析函数）的方法。

要求学生：

了解复变函数积分的概念与性质，会求复变函数的积分；理解柯西－古萨积分定理，掌握牛顿－莱布尼兹公式、柯西积分公式、高阶导数公式和复合闭路定理，能熟练运用来计算复变函数的积分；了解析函数的导数仍是解析函数，解析函数无限次可导的性质；了解调和函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部或这解析函数的方法。

（四）级数

复数列的极限，复数项级数概念及其收敛性的判别法，幂级数概念，收敛圆与收敛半径，收敛半径的求法，幂级数的运算和性质，泰勒级数，洛朗级数。

【重点】：幂级数收敛半径的求法，将一个解析函数展开为泰勒级数及在圆环域内解析函数的洛朗展开。

【难点】：将一个解析函数展开为泰勒级数或洛朗级数。

要求学生：

理解复数项级数收敛、发散以及绝对收敛等概念；了解幂级数收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径的求法，了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质；了解泰勒定理，记住 的展开式，掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数；了解洛朗定理，会用间接方法将一些简单的函数在圆环域内展为洛朗级数。

（五）留数

孤立奇点的概念及其分类，函数的零点与极点的关系，留数的定义及留数定理，留数的计算规则，留数在定积分计算上的应用。

【重点】：函数在孤立奇点处留数的计算，利用留数求复变函数的积分和三种类型定积分的方法。

【难点】：孤立奇点类型的确定，以及用留数计算实积分时积分围道的确定。

要求学生：

理解孤立奇点的概念及其分类；理解留数概念，掌握留数的计算方法，特别是极点处留数的求法；理解留数定理；会用留数求复积分及一些实积分。

第二部分 积分变换

（一）傅里叶变换

傅氏级数的复数形式，傅氏积分定理，傅氏积分公式，傅氏变换及其逆变换的概念，频谱（傅氏变换的物理意义）及频谱图；单位脉冲函数及其傅氏变换，傅氏变换的性质，卷积及卷积定理。

【重点】：傅氏积分公式，傅氏变换的概念和性质，傅氏变换与傅氏积分的求法。

【难点】：傅氏变换的应用； －函数的概念及其应用。

要求学生：

知道傅氏级数的复数形式，理解傅氏积分定理，熟悉傅氏积分公式；理解傅氏变换及其逆变换、频谱的概念；了解 －函数的概念及其傅氏变换；熟悉傅氏变换的性质；了解卷积的概念，理解卷积定理。

（二）拉普拉斯变换

拉氏变换的概念，拉氏变换的存在性定理，拉氏变换的性质，拉氏逆变换，卷积与卷积定理，微分方程的拉氏变换解法。

【重点】：拉氏变换的概念与性质，拉氏变换及拉氏逆变换的求法，微分方程的拉氏变换解法。

【难点】：利用拉氏变换求微分方程的解。

要求学生：

理解拉氏变换的概念，了解拉氏变换的存在性定理，熟悉一些常见函数的拉氏变换，会求周期函数的拉氏变换；熟悉拉氏变换的性质；会求拉氏逆变换；了解卷积的概念，理解卷积定理；会利用拉氏变换解微分方程。

三、建议教学进度

四、教学方法

1、以课堂讲授为主，阐述微积分学的概念、基本原理、基本方法及其在几何、物理中的基本应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础

2、采用黑板板书授课，有时适当结合多媒体课件以及几何实物立体模型等进行辅助教学

3、在发挥教师主导作用的同时，充分发挥学生的主体作用，为学生的积极参与创造条件，引导学生去思考、去探索、去发现，鼓励学生大胆地提出问题并尝试解决问题

4、以教师为主导、学生为主体，进行适当的课堂提问和讨论、学生到黑板上做题并讲解，调动学生学习的自觉性和积极性，激活学生的自主学习潜能以及主观能动性

5、统一教学进度，统一教案，统一出卷、集体阅卷

6、正常授课期间每周六安排几位教师在指定时间、地点进行全校性的周末公数辅导

7、利用QQ、微信等网络互动平台，给学生课后答疑

五、考核方式

闭卷笔试

六、成绩评定方法

笔试成绩70%，平时成绩30%

七、教学参考书

1. 《复变函数》，西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，1996年5月第4版。

2. 《积分变换》，南京工学院数学教研组编，高等教育出版社，1989年5月第3版。

3. 《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社， 1988年5月第2版。

4. 《复变函数学习指导书》， 钟玉泉编，高等教育出版社，1996年4月第1版。

5. 《复变函数与积分变换典型题分析解集》，李建林编，西北工业大学出版社，2001年1月第2版。

6. 《复变函数与积分变换》，哈尔滨工业大学数学系组编，盖云英、包革军编，科学出版社，2001年8月第1版。

7. 《积分变换》，东南大学数学系，张元林编，高等教育出版社，2003年12月第4版。

注：《复变函数》的第六章“共形映射”不讲。